数列{an}满足 a1=1,a(n+1)=(n^2+n-λ)an(n=1,2 )λ是常数

题目

数列{an}满足 a1=1,a(n+1)=(n^2+n-λ)an(n=1,2 )λ是常数
（Ⅰ）当a2=-1时,求λ及a3的值；
（Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式；若不可能,说明理由；
（III）设bn=a(n+1)/an(n∈N+) ,试证明λ=2/3时,b1+b2+b3+…+bn≥2λ.

答案

a1=1,a(n+1)=(n^2+n-λ)an
a2=(1+1-λ)a1=2-λ
（Ⅰ）当a2=-1时,2-λ=-1 λ=3
a3=(4+2-λ)a2=(6-3)*(-1)=-3
（Ⅱ）a(n+1)=(n²+n-λ)an
a(n+1)/an=n²+n-λ≠常数
所以{an}不是等比数列
（III）设bn=a(n+1)/an=n²+n-λ
当λ=2/3时,b1+b2+b3+.+bn
=(1/6)n(n+1)(2n+1)+n(n+1)/2-λn
=n[(1/3)n²+n+2/3-λ]
=n[(1/3)n²+n]
=n²(n+3)/3
因n∈N+,即n≥1
所以上式≥1²(1+3)/3=4/3=2λ
得证