A·PA→+B·PB→+C·PC→=0,则这是三角形ABC的1内心2外心3垂心4重心

题目

A·PA→+B·PB→+C·PC→=0,则这是三角形ABC的1内心2外心3垂心4重心

答案

点P是三角形的内心
点P是三角形的内心的充要条件是a*向量PA+b*向量PB+c*向量PC=0.
【证明】：
设BP与AC相交于E,CP与AB相交于F,
∵P是内心
∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE
过A作CP的平行线,与BP的延长线相交于N,过A作BP的平行线,与CP的延长线相交于M,
所以四边形PMAN是平行四边形
根据平行四边形法则,得
向量PA
=向量PM+向量PN
=(PM/CP)*向量CP+(PN/BP)*向量BP
=(AE/CE)*向量CP+(AF/BF)*向量BP
=(c/a)*向量CP+(b/a)*向量BP∴a*向量PA=b*向量BP+c*向量CP
∴a*向量PA+b*向量PB+c*向量PC=向量0