设f(x)=x^2-∫(下0,上a)f(x)dx,且a是不等于-1的常数,证明：∫(下0,上a)f(x)dx=a^3/(3a+3)

题目

设f(x)=x^2-∫(下0,上a)f(x)dx,且a是不等于-1的常数,证明：∫(下0,上a)f(x)dx=a^3/(3a+3)

答案

证：
记∫(0,a)f(x)dx=k（常数）
则f(x)=x^2-∫(0,a)f(x)dx可化为
f(x)=x^2-k
两边在[0,a]上积分有
∫(0,a)f(x)dx=∫(0,a)x^2dx-k∫(0,a)dx
即k=(1/3)x^3|(0,a)-ka整理有
k(1+a)=(1/3)a^3
解得：k=a^3/(3a+3)
即有∫(0,a)f(x)dx=a^3/(3a+3),a≠-1.
证毕.