如图，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由．

题目

如图，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由．

答案

直线PQ与⊙O的位置关系是：相切．
其理由如下：
①连接OP、CP．
∵BC是直径，
∴CP⊥AB，
在Rt△APC中，Q为斜边AC的中点；
∴PQ=CQ=

1

2

AC（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴∠QPC=∠QCP；
又OP=OC，
∴∠OPC=∠OCP，
又∠BCA=90°，
∴∠OPQ=90°，
∴OP⊥PQ，又∵OP为半径，
∴直线PQ与⊙O相切于点P．
②用三角形全等或者角的和（差）也可证明．