三角形ABC中,3acosA=bcosC+ccosB.（1）cosA=?（2）a=2,求三角形面积最大值

题目

三角形ABC中,3acosA=bcosC+ccosB.（1）cosA=?（2）a=2,求三角形面积最大值

答案

在△ABC中,3acosA=bcosC+ccosB.
（1）cosA=?；（2）a=2,求三角形面积最大值.
（1）由余弦定理可知：
3a×[(b²+c²-a²)/(2bc)]=b×[(a²+b²-c²)/(2ab)]+c×[(a²+c²-b²)/(2ac)],
化简得cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=1/3；
（2）∵△ABC中cosA=1/3,∴sinA=√(1-(1/3)²)=2√2/3,
而(b²+c²-2²)/(2bc)=1/3,则b²+c²=(2/3)bc+4≥2bc,解得bc≤3,
则S△ABC=(1/2)bcsinA=(1/2)×(2√2/3)bc≤(1/2)×(2√2/3)×3=√2,
S△ABCmax=√2.