设向量a=(3/2,1+sinα),b=(1-cosα,1/3),且a平行b,则锐角α为?

题目

设向量a=(3/2,1+sinα),b=(1-cosα,1/3),且a平行b,则锐角α为?

答案

因为两向量平行,所以 3/2*1/3 = (1+sina)(1-cosa) ,
展开得 1+sina-cosa-sinacosa = 1/2 ,
令 sina-cosa = t ,则 t^2 = 1-2sinacosa ,所以 sinacosa = (1-t^2)/2 ,
代入得 1+t-(1-t^2)/2 = 1/2 ,
解得 t = -2 或 0 ,
由于 t=sina-cosa = √2sin(a-π/4) ∈[-√2,√2] ,因此舍去 t = - 2 ,
所以 t = sina-cosa = 0 ,
则 sina = cosa ,所以 tana = 1 ,
由于 a 为锐角,所以 a = π/4 .