已知abc分别为三角形的三个内角的对边且bcosC+根三bsinC-a-c=0(1)证明∠A∠B∠C成等差数列

题目

已知abc分别为三角形的三个内角的对边且bcosC+根三bsinC-a-c=0(1)证明∠A∠B∠C成等差数列
(2）若b=根三,求2a+c的最大值

答案

（1）先用正弦定理得sinbsinc+ 根号3sinBsinC-sinA-sinC=0,又sinA=sin(B+C)在利用二角和的正弦公式得根号3sinBsinC-cosBsinC=sinC又C属于（0~180）,sinc不等于0,所以根号3sinB-cosB=1,利用辅助角公式得sin(B-30)=1/2,B-30=30,B=60,又A+B+C=180,所以,A+C=120=2B,所以A,B,C是等差数列.
（2)a/sinA=B/sinB=C/sinC=根号3/sin60=2
所以a=2sinA c=2sinC A+C=120 C=120-A
2a+c=4sinA+2sinC=4sinA+2sin(120-A）=5sinA+根号3cosA A属于（0,120）
2a+c的最大值2根号7