高二关于圆与直线的问题!

题目

高二关于圆与直线的问题!
已知圆c：x²+y²-2x+4y-4=0与直线方程L：y=x+b相交于A,B两点,是否存在实数b使得OA⊥OB（O为坐标原点）?若存在,求出实数b的值；若不存在,说明理由.

答案

直线y=x+b
代入
2x²+(2b+2)x+b²+4b-4=0
x1+x2=-(b+1)=-b-1
x1x2=(b²+4b-4)/2
y=x+b
y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b²=(b²+2b-4)/2
AB是直径,O在圆上
所以OA垂直OB
OA斜率y1/x1,OB是y2/x2
所以(y1/x1)(y2/x2)=-1
y1y2=-x1x2
(b²+2b-4)/2=-(b²+4b-4)/2
b²+3b-4=0
b=-4,b=1
所以是x-y-4=0和x-y+1=0