在xy平面,直线L过原点O,和点A,A不等于O.取一点P,过P点做L的垂线和L相交于Q点,如果P点在直线L上,我们使Q=P.向量a,p,q分别是A,P,Q的位置向量,用向量a,p,表示q.

题目

答案

q = a (p,a)/(a,a).
下面推导里,(x,y)代表向量的内积,|x|代表x的模长.
a/|a|是L上的单位向量,即为Q的方向.
设a和p的夹角是α,则根据内积定义,(p,a)=|p||a|cosα.p在L的投影长度=p cosα = (p,a)/|a|,即为Q的长度.
所以q= (p,a)/|a| * a/|a|=a (p,a)/|a|²=a (p,a)/(a,a).

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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