在△ABC中,BC=6,AC=42,∠C=45°,在BC上有一动点P.过P作PD∥BA与AC相交于点D,连接AP,设BP=x,△APD的面积为y. (1)求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值
题目
在△ABC中,BC=6,AC=4
,∠C=45°,在BC上有一动点P.过P作PD∥BA与AC相交于点D,连接AP,设BP=x,△APD的面积为y.
(1)求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;
(2)是否存在点P,使△APD的面积最大?若存在,求出BP的长,并求出△APD面积的最大值.
答案
(1)过A作AE⊥BC,则AE为BC边上的高,
由Rt△AEC中,AC=4
,∠C=45°,得到此三角形为等腰直角三角形,
∴sin45°=
,即AE=ACsin45°=4
×
=4,
∴△ABC中BC边上的高为4,
设△CDP中PC边上的高为h,
则
=
⇒h=
(6−x)(0<x<6);
这样S
1=2x,S
3=
(6−x)•
(6−x)=
(6−x)2,
S
2=12-2x-
(6−x)2=−
x2+2x;
即y=12-2x-
(6−x)2=−
x2+2x;
(2)S
2=−
x2+2x=−
(x2−6x+9)+3=−
(x−3)2+3,
所以当x=3时,y有最大值3;此时BP=3,即P是BC的中点.
(1)设△ABP,△APD,△CDP的面积分别记为S
1,S
2,S
3,由已知条件可求出△ABC中BC边上的高为4,设△CDP中PC边上的高为h,找到h和x的数量关系,则即可求出用x的代数式分别表示S
1,S
2,S
3进而表示出△APD的面积y;
(2)对y=S
2=
−x2+2x利用配方法即可求出△APD的面积最大值.
相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;三角形的面积.
本题考查了二次函数的最值及三角形的面积,难度不大,关键是掌握用配方法求二次函数的最值.
举一反三
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