函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,是否存在实数m,使f(4m-2mx)>f(4-2x²)对所有x∈[0,1]都成立

函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,是否存在实数m,使f(4m-2mx)>f(4-2x²)对所有x∈[0,1]都成立

题目
函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,是否存在实数m,使f(4m-2mx)>f(4-2x²)对所有x∈[0,1]都成立
求出m
答案
【解】函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,
则f(x)在(-∞,0]上也是增函数.
所以函数f(x)在R上是增函数.
由f(4m-2mx)>f(4-2x²)可得:
4m-2mx>4-2x²,m(2-x)>2- x².
设2-x=t,因x∈[0,1],则t∈[1,2],
∴mt>2-(2-t)²,m>[2-(2-t)²]/t,
[2-(2-t)²]/t=(-2+4t-t²)/t=-(t+2/t)+4,
∵t∈[1,2],∴t+2/t≥2√2
所以-(t+2/t)+4≤-2√2+4.
∴m>-2√2+4时,f(4m-2mx)>f(4-2x²)对所有x∈[0,1]都成立.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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