函数f（x）是定义在R上的奇函数,且在[0,+∞）上是增函数,是否存在实数m,使f（4m-2mx）＞f（4-2x²）对所有x∈[0,1]都成立

题目

函数f（x）是定义在R上的奇函数,且在[0,+∞）上是增函数,是否存在实数m,使f（4m-2mx）＞f（4-2x²）对所有x∈[0,1]都成立
求出m

答案

【解】函数f（x）是定义在R上的奇函数,且在[0,+∞）上是增函数,
则f（x）在(-∞,0]上也是增函数.
所以函数f（x）在R上是增函数.
由f（4m-2mx）＞f（4-2x²）可得：
4m-2mx＞4-2x²,m(2-x)>2- x².
设2-x=t,因x∈[0,1],则t∈[1,2],
∴mt>2-(2-t)²,m>[2-(2-t)²]/t,
[2-(2-t)²]/t=(-2+4t-t²)/t=-(t+2/t)+4,
∵t∈[1,2],∴t+2/t≥2√2
所以-(t+2/t)+4≤-2√2+4.
∴m>-2√2+4时,f（4m-2mx）＞f（4-2x²）对所有x∈[0,1]都成立.