设a,b,c为△ABC的三边长,且二次三项式x²+2ax+b²与x²+2cx-b²有一次公因式,求证：△A

题目

设a,b,c为△ABC的三边长,且二次三项式x²+2ax+b²与x²+2cx-b²有一次公因式,求证：△A
二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一次公因式
设B方=M*N (M>N)
则M+N=2A A=(M+N)/2
M-N=2C C=(M-N)/2
A方-C方=(M方+N方+2MN)/4-(M方+N方-2MN)/4=M*N=B方
所以：△ABC一定是直角三角形

答案

设(X+M)(X+R)=X2+(M+R)X+MR=X2+2AX+B2
(X+M)(X+Y)=X2+(M+Y)X+MY=X2+2CX-B2（公因式为X+M,Y,R为参数)
A=(M+R)/2 C=(M+Y)/2 B2=MR B2=-MY
R=-Y
A2+C2=M2/2+R2/4+MR/2+Y2/4+MY/2=M2/2+Y2/2
C2=(M2+Y2+2MY)/4=(2A2+2C2-2B2)/4
4C2=2A2+2C2-2B2
B2=C2+A2