(x)=4^x/4^x+2,求和s=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+...+f((n-1)/n)+f(1).

题目

(x)=4^x/4^x+2,求和s=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+...+f((n-1)/n)+f(1).

答案

已知：f(x)=4^x/（4^x+2）
求和s=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+...+f((n-1)/n)+f(1).
答：f(1-x)=4^(1-x)/[4^(1-x)+2]
上式左边分式的上下同乘以4^x
得 4^(1-x)*4^x=4^(1-x+x)=4
故 f(1-x)=4/(4+2*4^x)=2/(2+4^x)
所以 f(x)+f(1-x)=4^x/(2+4^x)+2/(2+4^x)=(2+4^x)/(2+4^x)=1
所以 f(1/n)+f((n-1)/n)=f(1/n)+f(1-1/n)=1
f(2/n)+f((n-2)/n)=1
f(3/n)+f((n-3)/n)=1
...……
中间共有(n-1)/2个1相加
又 f(0)=1/3 f(1)=2/3
所以 f(0)+f(1)=1
故：s=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+...+f((n-1)/n)+f(1)=(n-1)/2+1=(n+1)/2
说明：条件是n为奇数