已知(X—1／X )n次方展开式中前三项的二项式系数和是37,书展开式中X四次方的系数…

题目

已知(X—1／X )n次方展开式中前三项的二项式系数和是37,书展开式中X四次方的系数…
最好请带过程

答案

用 C(n,k) 表示 n 个中取 k 个的组合数,如 C(4,2)=6,等等.
因为前三项的二项式系数之和为 37,所以
C(n,0)+C(n,1)+C(n,2) = 37,即 1+n+n(n-1)/2 = 37.
解上述关于n的一元二次方程得到 n = 8 或者 n = -9,显然负根舍去,即 n = 8.
现在要求 x^4 的系数.注意到在 (x - 1/x)^8 这8个 x-1/x 的乘积中,只有取6个 x-1/x 中的 x 与另外两个中的 -1/x 相乘才会出现 x^4,因此 x^4 的系数为 C(8,2)*1^6*(-1)^2 = 28.
即 x^4 的系数为 28.