设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率e=根号2/2,右准线为l,M、N是l上的两个动点,F1M向量*F2M向量=0

题目

设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率e=根号2/2,右准线为l,M、N是l上的两个动点,F1M向量*F2M向量=0
（1）若|F1M向量|=|F2N向量|=2根号5,求a、b的值
（2）证明：当MN取最小值时,F1M向量+F2N向量与F1F2向量共线

答案

（1）焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0),离心率 e = √2/2 = c/a,a = √2c右准线为 x = a²/c = 2c点M,N坐标 M(2c,y1),N(2c,y2).F1M = (3c,y1)F2N = (c,y2)由 F1M·F2M=0,|F1M|=|F2N|=2√5得 3c²＋y1y2=0,√9c...