一道很有趣的数学题 若两个实数a,b,使得a²+b与a+b²都是有理数,称数对(a,b)是和谐的.

题目

一道很有趣的数学题 若两个实数a,b,使得a²+b与a+b²都是有理数,称数对(a,b)是和谐的.
①试找出一对无理数,使得(a,b)是和谐的；
如（（根号13-1）/2,（根号13-1）/2）
②证明：若(a,b)是和谐的,且a+b是不等于一的有理数,则a,b都是有理数.
③若(a,b)是和谐的,且a/b是有理数,则a,b都是有理数.

答案

(1)设a = m+√nb=m-√nm和n都是有理数那么a²+b = m² + n + 2m√n + m - √n是一个有理数a+b² = m+√n + m² + n - 2m√n也是一个有理数所以只需要(2m-1)√n是一个有理数即可显然对于任意的n,只需...