α、β、γ属于（0,90°）,sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosα,求β-α的值

题目

α、β、γ属于（0,90°）,sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosα,求β-α的值

答案

∵α、β、γ属于（0,90°）,sinα+sinγ=sinβ （正弦函数在第一象限递增）
∴ β大于α,0º＜β-α＜90º
sinγ=sinβ-sinα ①
cosγ=cosα-cosβ ②
∵sin²γ+cos²γ=1
∴（sinβ-sinα ）²+（cosα-cosβ ）²=1
化简得到
-2sinβ·sinα -2cosα·cosβ =-1
sinβ·sinα +cosα·cosβ =1/2
cos（ β-α）=1/2
β-α=60º