证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和

证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和

题目
证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和
答案
方法一:利用余弦定理.
在平行四边形ABCD中,有:AB=DC、AD=BC、∠A=180°-∠B,∴cosA=-cosB.
由余弦定理,有:
AC^2=AB^2+BC^2-2AB×BC×cosB,······①
BD^2=AD^2+AB^2-2AD×AB×cosA=AD^2+DC^2+2BC×AB×cosA.······②
①+②,得:AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+AD^2+DC^2.
方法二:利用向量点积.
在平行四边形ABCD中,有:
向量AC=向量AB+向量AD,向量BD=向量BA+向量BC=-向量AB+向量AD.
∴|AC|^2=|AB|^2+|AD|^2+2向量AB·向量AD,······③
 |BD|^2=|AD|^2+|AB|^2-2向量AD·向量AD.······④
③+④,得:|AC|^2+|BD|^2=|AB|^2+|AD|^2+|AD|^2+|AB|^2.
显然有:AD=BC、AB=DC,∴AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+AD^2+DC^2.
方法三:利用勾股定理.
不失一般性,假设平行四边形ABCD中,∠A为锐角.
分别过A、B向DC引垂线,垂足分别为E、F.
容易得出:AE=BF、ED=FC,∴EC=ED+DC=FC+DC、DF=DC-FC.
由勾股定理,有:AC^2=AE^2+EC^2、BD^2=BF^2+DF^2,两式相加,得:
AC^2+BD^2=2BF^2+(FC+DC)^2+(DC-FC)^2=2BF^2+2FC^2+2DC^2.
再由勾股定理,有:BF^2+FC^2=BC^2,∴AC^2+BD^2=2BC^2+2DC^2.
明显有:AD=BC、AB=DC,
∴AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+AD^2+DC^2.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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