已知一个圆截y轴所得的弦长为2,被x轴分成的两段弧长的比为3:1. (1)设圆心(a,b),求实数a、b满足的关系式; (2)当圆心到直线l:x-2y=0的距离最小时,求圆的方程.
题目
已知一个圆截y轴所得的弦长为2,被x轴分成的两段弧长的比为3:1.
(1)设圆心(a,b),求实数a、b满足的关系式;
(2)当圆心到直线l:x-2y=0的距离最小时,求圆的方程.
答案
(1)设圆心P(a,b),半径为r,则|b|=
,2b
2=r
2,①…(3分)
又|a|
2+1=r
2,所以a
2+1=r
2,②
联立①②消去r得:2b
2=a
2+1;…(6分)
(2)点P到直线x-2y=0的距离d=
,
5d
2=a
2-4ab+4b
2≥a
2+4b
2-2(a
2+b
2)=2b
2-a
2=1,…(9分)
所以
,
所以
,或
,…(11分)
所以(x-1)
2+(y-1)
2=2或(x+1)
2+(y+1)
2=2.…(13分)
(1)设出圆心P的坐标和半径为r,根据圆被x轴分成的两条弧之比得到
|b|=r,两边平方得到一个关系式,记作①式,再根据弦长的一半,弦心距即为P的横坐标的绝对值,及圆的半径r,利用勾股定理列出另外一个关系式,记作②,两式联立消去r即可得到a与b满足的关系式;
(2)先利用点到直线的距离公式表示出圆心P到直线l的距离d,两边平方后,根据基本不等式及(1)得出的a与b的关系式即可得到d的最小值,当且仅当a=b取等号,把a=b与(1)得出的关系式联立组成方程组,求出方程组的解得到a与b的值,进而确定出圆心坐标和圆的半径,写出圆的标准方程即可.
["直线与圆的位置关系","基本不等式"]
此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:垂径定理,勾股定理,点到直线的距离公式,基本不等式以及圆的标准方程,当直线与圆相交时,常常由弦长的一半,圆的半径及弦心距构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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