n阶非奇异矩阵A的列向量为a1,a2...an,n阶矩阵B的列向量为b1 b2...bn若b1=a1+a2...bn=an+a1,求r(B)

题目

n阶非奇异矩阵A的列向量为a1,a2...an,n阶矩阵B的列向量为b1 b2...bn若b1=a1+a2...bn=an+a1,求r(B)
...中间是b2=a2+a3 b3=a3+a4.bn=an+a1 答案是n为奇数时r(B)=n,n为偶数时r(B)=n-1实在是不理解为什么n为偶数是秩为n-1

答案

n为偶数时：b1-b2+b3-b4+……-bn＝0 ∴﹛b1,b2,……bn﹜线性相关.设k1b1+k2b2+……+k﹙n-1﹚b﹙n-1﹚＝0即k1a1+﹙k1+k2﹚a2+﹙k2+k3﹚a3+……+﹙k﹙n-2﹚+k﹙n-1﹚a﹙n-1﹚+k﹙n-1﹚an＝0∵矩阵A非奇异,∴﹛a1,a2,…...