设函数f(x)=1/3x3−1/2(2a−1)x2+[a2−a−f′(a)]x+b,(a,b∈R) (1)求f′(a)的值; (2)若对任意的a∈[0,1],函数f(x)在x∈[0,1]上的最小值恒大

设函数f(x)=1/3x3−1/2(2a−1)x2+[a2−a−f′(a)]x+b,(a,b∈R) (1)求f′(a)的值; (2)若对任意的a∈[0,1],函数f(x)在x∈[0,1]上的最小值恒大

题目
设函数f(x)=
1
3
x3
1
2
(2a−1)x2+[a2−a−f′(a)]x+b,(a,b∈
R)
(1)求f′(a)的值;
(2)若对任意的a∈[0,1],函数f(x)在x∈[0,1]上的最小值恒大于1,求b的取值范围.
答案
(1)∵f(X)=
1
3
x3
1
2
(2a−1)x2+[a2−a−f(a)]x+b(a,b∈
R)
∴f′(x)=x2-(2a-1)x+a2-a-f′(a),
∴f′(a)=a2-(2a-1)a+a2-a-f′(a),
∴f'(a)=0.
(2)∵f(X)=
1
3
x3
1
2
(2a−1)x2+[a2−a−f(a)]x+b(a,b∈
R)
∴f′(x)=x2-(2a-1)x+a2-a-f′(a),
∴f′(a)=a2-(2a-1)a+a2-a-f′(a),
∴f′(a)=0.
∴f′(x)=x2-(2a-1)x+(a2-a)=[x-(a-1)](x-a),
令f′(x)>0,得x<a-1,或x>a;令f′(x)<0,得a-1<x<a,
∴f(x)在(-∞,a-1]上单调递增,在[a-1,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增,
∵0≤a≤1,∴f(x)在x∈[0,1]上的最小值为f(a)=
1
3
a3
1
2
a2+b

1
3
a3
1
2
a2+b>1
在a∈[0,1]上恒成立.
即b>-
1
3
a3+
1
2
a2+1
在a∈[0,1]上恒成立,
g(x)=−
1
3
x2+
1
2
x2+1(0≤x≤1)

则g′(x)=-x2+x=-x(x-1)≥0,
∴g(x)在x∈[0,1]上单调递增,
1≤g(x)≤
7
6

b>
7
6
(1)由已知条件得f′(x)=x2-(2a-1)x+a2-a-f′(a),由此能求出f'(a)=0.
(2)由(1)知f′(x)=x2-(2a-1)x+(a2-a)=[x-(a-1)](x-a),令f′(x)>0,得x<a-1,或x>a;令f′(x)<0,得a-1<x<a,故f(x)在(-∞,a-1]上单调递增,在[a-1,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增,由此能求出b的取值范围.

利用导数求闭区间上函数的最值;函数的值.

本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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