已知二次型F=X1^2+X2^2+X3^3+4X1X2+4X1X3+4X2x3

题目

已知二次型F=X1^2+X2^2+X3^3+4X1X2+4X1X3+4X2x3
(1)写出二次型F矩阵表达式A
(2)求矩阵A特征值和特征向量
（3）写出该二次型的标准型

答案

(1) A =
1 2 2
2 1 2
2 2 1
(2)
|A-λE| = (5-λ)(1+λ)^2.
所以A的特征值为 5,-1,-1
(A-5E)X = 0 的基础解系为:(1,1,1)'
A的属于特征值5的所有特征向量为 c1 (1,1,1)',c1 为非零常数
(A+E)X = 0 的基础解系为:(1,-1,0)',(1,0,-1)'
A的属于特征值-1的所有特征向量为 c2 (1,-1,0)'+c3 (1,0,-1)' ,c2,c3 为不全为零的常数
(3) 该二次型的标准型为:
f = 5y1^2 - y2^2 - y3^2.