方程ax2+2x+（2a+6）=0有一正一负根的充要条件是a∈_．

题目

方程ax²+2x+（2a+6）=0有一正一负根的充要条件是a∈______．

答案

因为方程有一正根和负根，所以a≠0．
方法1：
设方程的两个根为x₁＞0，x₂＜0，
则满足

△＝4−4a(2a+6)＞0 x1x2＝ 2a+6 a ＜0

，解得-3＜a＜0．
方法2：
设f（x）=ax²+2x+（2a+6），因为程有一正根和负根，
所以若a＞0，则f（0）＜0，即2a+6＜0．此时不成立．
若a＜0，则f（0）＞0，即2a+6＞0．此时解得-3＜a＜0．
故答案为：（-3，0）

利用根与系数之间的关系确定方程有一正根和负根的等价条件．

本题考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评：本题主要考查一元二次方程根的分布问题．