已知圆C（X+2）^2+Y^2=4 相互垂直的两条直线L1 L2都过（2,0）,若圆心M（1,m）的圆和圆C外切且与L1 L2相切求圆M的方程

题目

已知圆C（X+2）^2+Y^2=4 相互垂直的两条直线L1 L2都过（2,0）,若圆心M（1,m）的圆和圆C外切且与L1 L2相切求圆M的方程

答案

依题意,可设圆M的方程为：(x- 1)^2+(y-m)^2=r^2,
而圆C的圆心为 (-2,0),半径为2,圆M与圆C外切,
所以(1+2)^2+(m-0)^2=(r+2)^2 ,化简得：m^2=r^2+4r-5.(1).
又相互垂直的两条直线L1、 L2都过（2,0）,且与圆M 相切,
故圆M的圆心（1,m）与L1、L2的垂足（2,0）的连线平分直角,
且其长为圆M的半径的(根号2)倍.
即 (1-2)^2+(m-0)^2=（根号2*r）^2 ,化简得：m^2=2r^2-1.(2).
联立（1）、（2）,解方程组,得：r=2,m= 根号7 或 -根号7.
所以所求圆M的方程为：(x-1)^2+(y-根号7)^2=4 或 (x-1)^2+(y+根号7)^2=4.