数列Bn满足B1=3/4,3Bn-B(n-1)=n,求Bn

题目

数列Bn满足B1=3/4,3Bn-B(n-1)=n,求Bn

答案

3Bn-B(n-1)=n
化成等比数列
3（Bn+an+b)=B(n-1)+a(n-1)+b
3Bn+3an+3b=B(n-1)+an-a+b
3Bn=B(n-1)-2an-a-2b和3Bn-B(n-1)=n要等价
那么-2a= 1,a=-1/2
-a-2b=0
b=1/4
所以新的数列【Bn-1/2n+1/4】是一个公比为1/3的等比数列.
Bn-1/2n+1/4=1/3^(n-1)*【a1-1/2+1/4】=1/[2*3^(n-1)]
Bn=1/[2*3^(n-1)]+1/2 *n-1/4
把a1=3/4带入验证,1/2+1/2-1/4满足.
所以对所有n,
Bn=1/[2*3^(n-1)]+1/2 *n-1/4都成立.