设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的导函数为f′(x).对任意x∈R,不等式f(x)≥f′(x)恒成立,
题目
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的导函数为f′(x).对任意x∈R,不等式f(x)≥f′(x)恒成立,
则b^2/(a^2+c^2)的最大值
答案
(1)由条件知f(2)=4a+2b+c≥2恒成立
又∵取x=2时,f(2)=4a+2b+c≤
1
8
(2+2)2=2与恒成立,
∴f(2)=2.
(2)∵
4a+2b+c=2
4a−2b+c=0
∴4a+c=2b=1,
∴b=
1
2
,c=1-4a
又f(x)≥x恒成立,即ax2+(
1
2
-1)x+1-4a≥0恒成立.
∴a>0,△=(
1
2
−1)2−4a(1−4a)≤0,整理得(4a−
1
2
)2≤0
故可以解出:a=
1
8
,b=
1
2
,c=
1
2
,
∴f(x)=
1
8
x2+
1
2
x+
1
2
.
(3)解法1:由分析条件知道,只要f(x)图象(在y轴右侧)总在直线y=
m
2
x+
1
4
上方即可,也就是直线的斜率
m
2
小于直线与抛物线相切时的斜率位置,
于是:
y=
1
8
x2+
1
2
x+
1
2
y=
m
2
x+
1
4
∴m∈(−∞,1+
2
2
).
解法2:g(x)=
1
8
x2+(
1
2
−
m
2
)x+
1
2
>
1
4
在x∈[0,+∞)必须恒成立,
即x2+4(1-m)x+2>0在x∈[0,+∞)恒成立.
①△<0,即[4(1-m)]2-8<0,解得:1−
2
2
<m<1+
2
2
;
②
△≥0
−2(1−m)≤0
f(0)=2>0
解出:m≤1−
2
2
.又m=1−
2
2
时,经验证不合题意
总之,m∈(−∞,1+
2
2
).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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