在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P在AD和DC上运动，设∠ABP=θ，将△ABP沿BP折起，使得二面角A-BP-C成直二面角，当θ为（　　）时，AC长最小. A.30° B.45° C.60°

题目

在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P在AD和DC上运动，设∠ABP=θ，将△ABP沿BP折起，使得二面角A-BP-C成直二面角，当θ为（　　）时，AC长最小.
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°

答案

过A作AH⊥BP于H，连CH，
∴AH⊥面BCP．∴在Rt△ABH中，AH=3sinθ，BH=3cosθ．
在△BHC中，CH²=（3cosθ）²+4²-2×4×3cosθ×cos（90°-θ），
∴在Rt△ACH中，AC²=25-12sin2θ，∴θ=45°时，AC长最小；
故选B．