在⊙O中,弦AB=AC=10,弦AD交BC于E,AE=4,求AD的长.

题目

在⊙O中,弦AB=AC=10,弦AD交BC于E,AE=4,求AD的长.

答案

过A作AF⊥BC,垂足为F,
在直角三角形AEF中,由勾股定理,得AE^2=AF^2+EF^2=16,
在直角三角形ABF中,由勾股定理,得AB^2=AF^2+BF^2=100,
两式相减,得,
（AF^2+BF^2）-（AF^2+EF^2）=100-16
所以BF^2-EF^2=84
即(BF+EF)(BF-EF)=84
因为AB=AC,AF⊥BC
所以BF=CF(三线合一)
所以(BF+EF)(BF-EF)=(FC+EF)(BF-EF)=BE*EC=84
在圆中由相交弦定理,得,
BE*EC=AE*DE=84,
因为AE=4
解得DE=21
所以AD=AE+DE=4+21=25