三角函数n倍角公式

题目

三角函数n倍角公式
不要倍角、三倍角、四倍角……公式,要一般表达式
即sin(nx)=?,而不是问sin(2x)=?、sin(3x)=?……
请问C是什么

答案

(cosna+isinna)=(cosa+isina)^n
=C(0,n)(cosa)^n+C(1,n)(cosa)^(n-1)(isina)+C(2,n)(cosa)^(n-2)(isina)^2+...+C(n,n)(isina)^n
i^0=1 i^1=i i^2=-1 i^3=-i i^4=1
=(C(0,n)(cosa)^n-C(2,n)(cosa)^(n-2)(sina)^2+C(4,n)(cosa)^(n-4)(sina)^4+.)+i(C(1,n)(cosa)^(n-1)sina-C(3,n)(cosa)^(n-3)(sina)^3+C(5,n)(cosa)^(n-5)(sina)^5+.)
实部对应实部,虚部对应虚部,则有
cosna=C(0,n)(cosa)^n-C(2,n)(cosa)^(n-2)(sina)^2+C(4,n)(cosa)^(n-4)(sina)^4+.
sinna=C(1,n)(cosa)^(n-1)sina-C(3,n)(cosa)^(n-3)(sina)^3+C(5,n)(cosa)^(n-5)(sina)^5+.
若要化作单一的sina 或者cosa来表达,使用(sina)^2+(cosa)^2=1来替代.