过P(1,1),且分别与直线l1：4x-3y-1=0,l2:4x-3y+4=o相切的圆的方程为?

题目

过P(1,1),且分别与直线l1：4x-3y-1=0,l2:4x-3y+4=o相切的圆的方程为?

答案

设圆心坐标为（a,b）半径为r,则圆的标准方程可设为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
Ax+By+C1=0；Ax+By+C2=0两平行直线间距离公式d=｜C1-C2｜/√(A^2+B^2),
因为直线l1：4x-3y-1=0,l2:4x-3y+4=0斜率相等,所以平行,又都与圆相切,说明d=2r=｜-1-4｜/√(4^2+3^2)=1 所以r=1/2
此外圆心到直线l1的距离等于圆心到l2的距离,即｜4a-3b-1｜/√(4^2+3^2)=｜4a-3b+4｜/√(4^2+3^2)=1/2,即｜4a-3b-1｜=｜4a-3b+4｜也就是4a-3b-1=-(4a-3b+4)可得b=4a/3+1/2.
由于该圆过点p(1,1),代入得(1-a)^2+(1-b)^2=1/4同时又有b=4a/3+1/2最后可得a=3/5,则b=13/10.
所以圆的方程为(x-3/5)^2+(y-13/10)^2=1/4.