求数学大神帮忙解答：已知函数f(x)=x ln x,g(x)=k(x-1)

题目

求数学大神帮忙解答：已知函数f(x)=x ln x,g(x)=k(x-1)
（1）求f（x）=xln x的单调区间；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立,求实数k的值.

答案

设g(x)=ln(x-1) （x＞1）
h(x)=k(x-1)-1 （x＞1）
原题目相当于若g(x)与h(x)没有交点,求k的取值范围,
分析：g(x)=ln(x-1)图像固定,h(x)过定点（1,-1）,然后围绕这个点根据k值不同,斜率变化.图中红色区域所示的范围就是k值在满足要求条件下所允许的范围.
垂直于x轴,则k趋于无穷大,不用限定k,
关键在求斜着那条线的斜率,很明显,两个曲线相切时候是分界点,分别求g(x)、h（x）导数：
g（x）导=1/（x-1）
h(x)导=k
令切点为x=a时,两曲线在x=a应有相同斜率,则有
g（a）导=1/（a-1）=h(a)导=k 由此推出k=1/a-1
两曲线相切于x=a,则x=a时,两函数y值应该相等即h(a)=g(a)
h(a)=k(x-1)-1 =1/(a-1)*(a-1)-1=0
g(a)=ln(a-1)=h(a)=0,则a=2,可得k=1/a-1=1,
则k的取值范围为k＞1,注意不是≥,因为等于时候相切,就有唯一交点（2,0）了.
第二种思路：（用到极限,可能高中阶段没有多涉及）
对题中函数求导f（x）导=1/（x-1)-k；(x>1)
显然：
1. k小于等于0时,f(x)导>0恒成立,则f（x）单调增
limf(x)x趋于 1=-无穷,
limf(x)x趋于 无穷= 无穷
-无穷到 无穷的变化(函数为不间断函数)必然经过零点,单调增,则只有一个零点
2. 同理当k>0的时候,
必存在一点x=a,有f(x)导=0,则 由此推出k=1/a-1
且有：区间（1,a）上有f(x)导大于零恒成立,则f(x)在此区间单调增；
区间（a, 无穷）上有f(x)导小于零恒成立,则f(x)在此区间单调减；
f(a)导=0,f(x)在此区间存在极大值,函数f(x)在定义域是连续平滑曲线,则极大值就是最大值；
limf(x)x趋于1=-无穷
若再有最大值f(a)