已知数列{an}满足a1=1,an=[a(n-1)]/[3a(n-1)+1]

题目

已知数列{an}满足a1=1,an=[a(n-1)]/[3a(n-1)+1]
bn=ana(n+1),求数列{bn}的前n项和Sn
注：n,n-1,n+1 都为下标

答案

an=a(n-1)/[3a(n-1)+1],取倒数.（n≥2）
1/an=3+1/a（n-1）,1/a2=4.
即n≥2时,{1/an}是第二项a2=4,公差d=3的等差数列.
1/an=1/a2+（n-2）d=3n-2.（n≥2）,又n=1也满足.
∴1/an=3n-2,an=1/（3n-2）.
bn=ana（n+1）=1/（3n-2）（3n+1）=1/3（1/（3n-2）-1/（3n+1））
Sn=1/3（1/(3-2）-1/(3+1)+1/(6-2)-1/(6+1)+1/(9-2)-1/.-1/（3n+1））
=1/3(1-1/(3n+1).