如图，在Rt△ABC中，斜边AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b厘米，a＞b，且a、b是方程x2-（m-1）x+m+4=0的两根， （1）求a和b的值； （2）若△A′B′C′与△ABC开始时完全重合

题目

如图，在Rt△ABC中，斜边AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b厘米，a＞b，且a、b是方程x²-（m-1）x+m+4=0的两根，

（1）求a和b的值；
（2）若△A′B′C′与△ABC开始时完全重合，然后让△ABC固定不动，将△A′B′C′沿BC所在的直线向左移动x厘米．
①设△A′B′C′与△ABC有重叠部分，其面积为y平方厘米，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
②若重叠部分的面积等于

3

8

平方厘米，求x的值．

答案

（1）∵a、b是方程x²-（m-1）x+m+4=0的两根，
∴a+b=m-1，ab=m+4，
又∵a、b是直角△ABC的两直角边，
∴a²+b²=c²=25，
∴（m-1）²-2（m+4）=25，
解得m₁=8，m₂=-4（舍去）．
∴原方程为x²-7x+12=0，
解得a=4，b=3．
（2）由题意得，BC'：C'M=BC：AC，
∵BC'=4-x，故可得C'M=

3

4

（4-x），
①y与x之间的函数关系式为：
y=

3

8

（4-x）²，（0≤x≤4）．
②代入

3

8

=

3

8

（4-x）²，
得x₁=3，x₂=5（舍去）．
∴x的值为3．

（1）首先根据一元二次方程根与系数的关系，得出用含m的式子表示a+b与ab的式子，然后由勾股定理得出一个关于m的方程，求出m的值，进而得出a和b的值；（2）①由于S△BC'M=12×BC′×C'M，即y=12x×C'M．所以首先用含x的代数式表示C'M，然后代入，即可求出y与x之间的函数关系式，并根据题意求出x的取值范围；②把y=38代入函数解析式，即可求出x的值．

本题考点：一元二次方程的应用；根与系数的关系；根据实际问题列二次函数关系式；勾股定理．

考点点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，三角形的面积公式等．在判断所求的解是否符合题意时，应舍去不合题意的解．