证明：若函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,且f(x)=∫(x,a)f(t)dt,则f(x)≡0.

题目

证明：若函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,且f(x)=∫(x,a)f(t)dt,则f(x)≡0.
提示：证明f(x)=ce^x

答案

f(x)=∫[a→x] f(t) dt两边求导得：f '(x)=f(x),将x=a代入上式,得初始条件：f(a)=0设f(x)=y,则f '(x)=f(x)得：dy/dx=y,分离变量得：dy/y=dx两边积分得：lny=x+lnC,因此y=Ce^x将f(a)=0代入得：0=Ce^a,则C=0因此y=f(x)...