设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)

题目

设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)<1.证明：2x-∫(0~x)f(t)dt=1在[0,1]上只有一个解
设f(x)在[1,4]上可导,且1/2∫（2~4）f(x)/xdx=f(1).证明：在（1,4）内至少存在一点t,使f'(t)=f(t)/t
题目和详细提问里是不同的问题.谢谢~
一遇到证明题就毫无头绪啊啊啊

答案

又见面了.下次请将两题分开提问,你懂的,
第一题,
证：令F(x)=2x-∫(0~x)f(t)dt-1
F'(x)=2-f(x)
又f(x)<1,
所以F'(x)>0
所以F(x)在[0,1]上为增函数
又F(0)=-1<0,F(1)=2-∫(0-1)f(t)dt-1
又根据积分中值定理有,至少存在一点ξ∈[0,1],使得
∫(0-1)f(t)dt=f(ξ)<1
即F(1)>0
所以,F(0)×F(1)<0
根据零点存在定理,
至少存在一点c∈(0,1)属于[0,1],使得F(c)=0
结合前面的F(x)在[0,1]为增函数,
所以,原命题得证.
第二题,
证：令F(x)=f(x)/x
根据积分中值定理,至少存在一点ξ∈[2,4],使得
(1/2)∫(2-4)f(x)/xdx=f(ξ)/ξ=f(1)
又因为F(1)=f(1)/1=f(ξ)/ξ=F(ξ)
所以对F(x)在区间[1,ξ]属于[1,4]应用罗尔定理,得
至少存在一点t∈(1,ξ)属于(1,4),使得
F'(t)=[tf'(t)-f(t)]/(t^2)=0
即f'(t)=f(t)/t
所以,原命题得证.