(∫[a,b]f(x)g(x)dx)^2

题目

(∫[a,b]f(x)g(x)dx)^2<=(∫[a,b]f^2(x)dx)(∫[a,b]g^2(x)dx)用二重积分怎么证

答案

本题少一个条件,f(x)与g(x)均恒正

右边=∫[a,b]f²(x)dx∫[a,b]g²(x)dx
由于定积分可随便换积分变量,将第二个积分变量换为y
=∫[a,b]f²(x)dx∫[a,b]g²(y)dy
=∫[a,b]∫[a,b] f²(x)g²(y) dxdy
（注：若开始将第一个积分变量换为y,可得右边=∫[a,b]∫[a,b] f²(y)g²(x) dxdy）
=(1/2)[ ∫[a,b]∫[a,b] f²(x)g²(y) dxdy + ∫[a,b]∫[a,b] f²(y)g²(x) dxdy ]
=∫[a,b]∫[a,b] (1/2)[f²(x)g²(y)+f²(y)g²(x)] dxdy
平均值不等式
≥∫[a,b]∫[a,b] [f(x)g(y)f(y)g(x)] dxdy
=∫[a,b] f(x)g(x) dx∫[a,b] f(y)g(y) dy
再将后一个积分变量换回x
=[∫[a,b] f(x)g(x) dx]²
=左边

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