已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx,g(x)=xe1-x.(a∈R,e为自然对数的底数) (1)当a=1时,求f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在(0,1/2)上无零点,求a的最
题目
已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx,g(x)=xe
1-x.(a∈R,e为自然对数的底数)
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若函数
f(x)在(0,)上无零点,求a的最小值.
答案
(1)当a=1时,f(x)=x-1-2lnx,x>0,
求其导数可得f′(x)=1-
,
令1-
>0,可得x>2,令1-
<0,可得0<x<2,
故此时函数的单调递减区间为(0,2),
单调递增区间为(2,+∞);
(2)因为f(x)<0在区间
(0,)上恒成立不可能,
故要使函数
f(x)在(0,)上无零点,
只要对任意的
x∈(0,),f(x)>0恒成立,即对
x∈(0,),a>2−恒成立.
令
l(x)=2−,x∈(0,),则
l′(x)=−=
,
再令
m(x)=2lnx+−2,x∈(0,),
则
m′(x)=−=<0,
故m(x)在
(0,)上为减函数,
于是
m(x)>m()=2−2ln2>0,
从而,l′(x)>0,于是l(x)在
(0,)上为增函数,
所以
l(x)<l()=2−4ln2,
故要使
a>2−恒成立,只要a∈[2-4ln2,+∞),
综上,若函数f(x)在
(0,)上无零点,则a的最小值为2-4ln2;
(1)把a等于1代入到f(x)中求出f′(x),令f′(x)大于0求出x的范围即为函数的增区间,令f′(x)小于0求出x的范围即为函数的减区间;
(2)f(x)小于0时不可能恒成立,所以要使函数在(0,
)上无零点,只需要对x属于(0,
)时f(x)大于0恒成立,列出不等式解出a大于一个函数,利用导数得到函数的单调性,根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值.
利用导数研究函数的单调性;函数的零点.
此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调性,会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值,
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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