求y=cos³x+sin²x-cosx的最大值(多种解法,至少2种)

题目

求y=cos³x+sin²x-cosx的最大值(多种解法,至少2种)

答案

解法一：
y＝cos³x＋sin²x－cosx＝cos³x＋(1－cos²x)－cosx
换元思想
令t＝cosx,则y＝t³－t²－t＋1,其中t∈[－1,1]
则y'＝3t²－2t－1＝(t－1)(3t＋1)
令y'＝0,得t＝1或t＝－1/3
当x∈[－1,－1/3)时,y'＞0,y单调递增；
当x∈(－1/3,1]时,y'＜0,y单调递减.
∴当x＝－1/3时,y取得极大值,也是最大值,则ymax＝f(－1/3)＝32/27.
解法二：[较难想到]
y＝cos³x＋sin²x－cosx＝cosx(cos²x－1)＋(1－cos²x)＝(1－cos²x)(1－cosx)＝(1－cosx)²(1＋cosx)＝4(cosx＋1)(1/2－1/2cosx)(1/2－1/2cosx)≤4*[ [cosx＋1＋2(1/2－1/2cosx)]/3 ]³＝32/27
第二种解法可能超纲了.