若不等式x/(x^2+9)≤a≤(x+2)/x^2在x属于(0,2]上恒成立,则a的取值范围

题目

若不等式x/(x^2+9)≤a≤(x+2)/x^2在x属于(0,2]上恒成立,则a的取值范围

答案

做此类题型应当分三步,即左是左,右是右,最后合并!

恒成立问题 大于最大值,小于最小值
（1）x/(x^2+9)≤a在(0,2]上恒成立    即 a≧前式在(0,2]上的最大值!
前式可上下同除以x得1/(x+9/x),即求x+9/x的最小值,根据对勾图像及解集可知x=2时可得前式最大值为2/13,所以a≧2/13.
（2）同理a≤(x+2)/x^2,a≤后式最小值!
后式可先拆成1/x+2/xˆ2之后配成完全平方即2(1/x+1/4)ˆ2﹣1/8,同样在x=2处取得最小值为1,所以a≤1.
（3）综合得2/13≤a≤1.