已知△abc中,∠acb=90°,m为ab的中点,∠pmq=90°,试说明:pq的平方=ap的平方+bq的平方

题目

已知△abc中,∠acb=90°,m为ab的中点,∠pmq=90°,试说明:pq的平方=ap的平方+bq的平方

答案

过M作AC,BC的垂线,分别交AC,BC于E,F,则E,F为AC,BC中点
显然AP=AE+EP,PC=CE-EP,CQ=CF+FQ,QB=BF-FQ
所以AP-CP=2EP,CQ-QB=2FQ
由相似三角形
AC:MF=BC:ME
MF:FQ=ME:EP
所以AC:FQ=BC:EP
AC*EP=BC*FQ
AC(AP-CP)=BC(CQ-BQ)
而AP=AC-CP,BQ=BC-CQ,所以
AC(AC-2CP)=BC(2CQ-BC)
整理得AC^2-2AC*CP+BC^2-2BC*CQ=0
配方
AC^2-2AC*CP+CP^2+BC^2-2BC*CQ+CQ^2=CP^2+CQ^2
(AC-CP)^2+(BC-CQ)^2=CP^2+CQ^2
AP^2+BQ^2=CP^2+CQ^2
∠PMQ=90°,所以由勾股定理
PQ^2=CP^2+CQ^2
所以PQ^2=AP^2+BQ^2