观察:1+2+2^2+2^3+2^4; 1+2+2^2+...+2^9; 1+2+2^2+...+2^14 猜想一般式最大能被几整除,并证明

题目

观察:1+2+2^2+2^3+2^4; 1+2+2^2+...+2^9; 1+2+2^2+...+2^14 猜想一般式最大能被几整除,并证明

答案

1+2+2^2+2^3+2^4=31;1+2+2^2+...+2^9=2^10-1=1023;1+2+2^2+...+2^14=2^15-1最大能被31整除.证明1+2+2^2+.+2^(5n-1)=2^(5n)-1=32^n-1=(31+1)^n-1=31K+1-1=31k∴ 1+2+2^2+.+2^(5n-1)最大能被31整除.