如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，DC=4，∠DAB=60°，侧面△PAD和△PAB均为边长为2的正三角形，M为线段PC的中点． （Ⅰ）求证：PD⊥AB； （Ⅱ）求二面角P

题目

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，DC=4，∠DAB=60°，侧面△PAD和△PAB均为边长为2的正三角形，M为线段PC的中点．

（Ⅰ）求证：PD⊥AB；
（Ⅱ）求二面角P-BC-D的平面角的正切值；
（Ⅲ）试问：在线段AB上是否存在点N，使得MN与平面PDB的交点恰好是△PDB的重心？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．

答案

（1）证明：取AB中点Q，连结DQ，PQ，∵AD=BD，∴AB⊥DQ，同理AB⊥PQ，∴AB⊥平面PDQ，∴AB⊥PD．…（4分）（2）过P作PO⊥平面ABD于O，PE⊥CB交CB的延长线于E，连结OE，连结AO并延长交BD于F，则BC⊥OE，∴∠PEO为二面...