抛物线y=ax²+bx+c交X轴于A、B(B>A),顶点为C,连接CB,CA.
题目
抛物线y=ax²+bx+c交X轴于A、B(B>A),顶点为C,连接CB,CA.
(1)若△ABC是等腰直角三角形,求b²-4ac的值
(2)若△ABC是等边三角形,求b²-4ac的值.
(3)若△ABC中,∠CAB=a,用含a的代数式表示b²-4ac
正确答案是(1)b²-4ac=4 (2)b²-4ac=12 (3)b²-4ac=4tan²a
答案
设点A坐标为(x1,0),点B的坐标为(x2,0),且x2>x1
过点C作CD⊥x轴,垂足为D,则D为AB中点
对于一元二次方程ax²+bx+c=0来说,因为抛物线y=ax²+bx+c交X轴于A、B
∴x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
∵点C是抛物线y=ax²+bx+c的顶点
∴C(-b/2a,4ac-b²/4a)
(1)∵△ABC是等腰直角三角形
∴CA=CB
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一边,2CD=AB
2|4ac-b²/4a|=|x2-x1|=√[(x1+x2)²-4x1x2]=√(b²-4ac)/|a|
b²-4ac=4
(2)若△ABC是等边三角形,则等边三角形的高是边长的√3/2
∴|4ac-b²/4a|=√3/2×|x2-x1||=√3/2×]√(b²-4ac)/|a|
b²-4ac=12
(3)∵tanα=CD/AD
∴tanα=2|4ac-b²/4a|/|x1-x2|=2|4ac-b²/4a|/√(b²-4ac)/|a|
∴b²-4ac=4tan²a
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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