在三角形ABC中,sinB+cosB=√2,AC=2√5,cosC=2√5/5 （1）求sinA

题目

在三角形ABC中,sinB+cosB=√2,AC=2√5,cosC=2√5/5 （1）求sinA
（2）设D为BC上不与端点B,C重合的一点,求AD的取值范围

答案

sinB+cosB=根号2sin(B+45)=根号2
即有B+45=90
B=45度.
方法一：
∵cosC＝2√5/5＞0,∴C是锐角,又B＝45°,∴可过A作AD⊥BC交BC于D.
显然有：cosC＝CD/AC＝2√5/5,∴CD＝（2√5/5）AC＝（2√5/5）×2√5＝4.
∴AD＝√（AC^2－CD^2）＝√（20－16）＝2.
∵∠B＝45°、AD⊥BD,∴BD＝AD＝2、AB＝2√2,∴BC＝BD＋CD＝2＋4＝6.
∴由余弦定理,有：
cos∠BAC＝（AB^2＋AC^2－BC^2）/（2AB×AC）＝（8＋20－36）/（2×2√2×2√5）＝－1/√10,
∴sin∠BAC＝√［1－（cos∠BAC）^2］＝√（1－1/10）＝3/√10＝3√10/10.
方法二：
∵cosC＝2√5/5＞0,∴C是锐角,又B＝45°,∴可过A作AD⊥BC交BC于D.
∵cosC＝2√5/5,∴sin∠CAD＝cosC＝2√5/5,cos∠CAD＝√［1－（sin∠CAD）^2］＝1/√5.
∵∠B＝45°、AD⊥BD,∠BAD＝45°,∴sin∠BAD＝cos∠BAD＝1/√2.
∴sin∠BAC
＝sin（∠BAD＋∠CAD）＝sin∠BADcos∠CAD＋cos∠BADsin∠CAD
＝（1/√2）×（1/√5）＋（1/√2）×（2√5/5）＝1/√10＋2/√10＝3/√10＝3√10/10.