函数f(x)=x-(a+1)lnx-a/x(a属于R),当x属于【1,e】时,f(x)的最小值

题目

函数f(x)=x-(a+1)lnx-a/x(a属于R),当x属于【1,e】时,f(x)的最小值
每一步,基础的知识.

答案

f(x)=x-(a+1)lnx-a/x
f'(x)=1-(a+1)/x+a/x²=（x-a）（x-1）/x².
当a≤1时,在（1,+∞）f’（x）＞0,即f（x）在[1,e]递增,其最小值为f(1)=1-a.
当1＜a＜e时,在（1,a）f'（x）＜0,在（a,e）f'（x）＞0,f‘（a）=0.
∴f（a）是[1,e]的极小值为a-（a+1）ln（a）-1.
当e≤a时,在（1,e）f'（x）＜0,即f（x）在[1,e]递减,其最小值为f（e）=e-a/e-a-1.