如图,已知BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且交BE于E.求证:AE平分∠FAC.

如图,已知BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且交BE于E.求证:AE平分∠FAC.

题目
如图,已知BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且交BE于E.求证:AE平分∠FAC.
答案
证明:如图所示:过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA、EI⊥AC,垂足分别为G、H、I,
∵BE平分∠ABC,EG⊥BD,EH⊥BA,
∴EH=EG.
∵CE平分∠ACD,EG⊥BD,EI⊥AC,
∴EI=EG,
∴EI=EH(等量代换),
∴AE平分∠FAC(到角两边距离相等的点一定在角的平分线上).
如图过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA、EI⊥AC,垂足分别为G、H、I,根据角平分线的性质可得EH=EG,EI=EG,再根据角平分线的性质的逆定理可证AE平分∠FAC.

角平分线的性质.

本题主要考查角平分线的性质及其逆定理;准确作出辅助线是解答本题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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