设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1](t∈R)的最小值为g(t),求g(t)的表达式.
题目
设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1](t∈R)的最小值为g(t),求g(t)的表达式.
答案
f(x)=x
2-2x+2=(x-1)
2+1,所以,其图象的对称轴为直线x=1,且图象开口向上.
①当t+1<1,即t<0时,f(x)在[t,t+1]上是减函数,所以g(t)=f(t+1)=t
2+1;
②当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,函数f(x)在顶点处取得最小值,即g(t)=f(1)=1;
③当t>1时,f(x)在[t,t+1]上是增函数,
所以g(t)=f(t)=t
2-2t+2.
综上可得,g(t)=
| t2+1 , t<0 | 1 , 0≤t≤1 | t2−2t+2 ,t>1 |
| |
.
求出二次函数f(x)的对称轴为直线x=1,图象开口向上,分区间在对称轴的左侧、区间包含对称轴、区间在对称轴的右侧三种情况,分别利用单调性求出函数的最小值,即可得到g(t)的表达式.
二次函数在闭区间上的最值;函数解析式的求解及常用方法.
本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,求函数的解析式,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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