已知椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的离心率为1/2,直线x=2被椭圆E截得斜长为6,设F为椭圆E的右焦点,A为椭圆E的左顶点,

题目

已知椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的离心率为1/2,直线x=2被椭圆E截得斜长为6,设F为椭圆E的右焦点,A为椭圆E的左顶点,
（1） 求椭圆E的方程
（2） 求过点A,F,并与直线L:c=a^2/c相切的圆的方程

答案

由椭圆的离心率可知c/a=1/2,又因为a²-b²=c²,所以可得b²=3a²/4,又因为直线x=2被椭圆截得斜长为6,由于被截得的线段上下对称,所以椭圆经过点（2,3）,所以把该点坐标带入椭圆方程,可得4/a²+9/b²=1,所以联立b²=3a²/4和4/a²+9/b²=1,可得a²=16,b²=12.所以可得椭圆方程为x^2/16+y^2/12=1.