如何利用导数解决生活中的许多优化问题

题目

如何利用导数解决生活中的许多优化问题

答案

生活中的许多优化问题,往往可以归结为求函数的最大值或最小值的问题,在利用导数解决这类优化问题时,其一般步骤是:(l)设出恰当的未知量,并确定未知量的取值范围(即函数的定义域);(2)依题意将所求最值的量表示为未知量的函数即构造函数;(3)求出函数的导数,令导数为0,得到导数为0的点;(4)通过单调性确定出函数的最值点及最值,并解决实际问题.这类问题的处理常见的有以下两类.一、直接构造函数型例1甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40 km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和sa元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?分析:本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式.技巧与方法主要有:根据题设条件作出图形,分析各已知条件之间的关系,借助图形的特征,合理选择这些条件间的联系方式,适当选定变化,构造相应的函数关系.解法1:根据题意知,只有点C在线段AD上某一适当位置,才能使总运费最省