一曲线通过点(2,3),它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点平分,求该曲线的方程.

题目

一曲线通过点(2,3),它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点平分,求该曲线的方程.

答案

设曲线为y=f(x),设P（x0,y0)为曲线上一点
则切线为：f'(x0)(x-x0)=y-y0
令x=0
y=y0-x0f'(x0)
因P平分线段则y0-x0f'(x0)=2y0
f'(x0)=-y0/x0
则-xf'(x)=f(x)
设f(x)=g(x)/x
则g(x)/x==-x[-g(x)/x²+g'(x)/x]
=>g'(x)=0
则g(x)=c（c为任意实数）
则f(x)=c/x
由于f(x)经过（2,3）点
故f(x)=6/x